Question

如圖AB是半圓O的直徑，點(diǎn)M是半徑OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)M重合)．點(diǎn)Ｑ在半圓Ｏ上運(yùn)動(dòng)，且總保持PQ＝PO，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C． (1) 當(dāng)∠QPA=60°時(shí)，請(qǐng)你對(duì)△QCP的形狀做出猜想，并給予證明； (2) 當(dāng)QP⊥AB時(shí)，△QCP的形狀是________三角形； (3) 由(1)(2)得出的結(jié)論，請(qǐng)進(jìn)一步猜想當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)到任何位置時(shí)，△QCP一定是________三角形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結(jié)QO，由QP=OP得∠PQO=∠POQ，又由∠QPC=60°，可得∠QOC=30°，由∠CQO=90°得∠QCP=60°，從而∠QCP=∠QPC=∠CQP=60°，即△CQP為等邊三角形．或方法二：由PQ=PO得∠PQO=∠POQ，由∠PQO＋∠PQC=∠QCO＋∠QOC=90°得∠PCQ=∠PQC，所以PQ=PC，得△PCQ為等腰三角形，又由∠QPC=60°，得△PCQ為等邊三角形．(2)等腰直角三角形(3)等腰三角形