Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接BE，CD，點F，G，H分別是BE，CD，BC的中點

(1)觀察猜想：圖1中，△FGH的形狀是______.

(2)探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，△FGH的形狀是否發生改變？并說明理由；

(3)拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝2，AB＝6，請直接寫出△FGH的周長的最大值.

Answer 1

【答案】(1)等邊三角形；(2)不發生改變，理由見解析；(3)△PMN的周長的最大值為12.

【解析】

(1)觀察猜想：

如圖1，先根據等邊三角形的性質得到AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，則BD＝CE，再根據三角形中位線性質得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，從而得到FH＝GH，∠FHG＝60°，從而可判斷△FGH為等邊三角形；

(2)探究證明：

連接CE、BD，如圖2，先利用旋轉的定義，把△ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到△CAE，則BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，與(1)一樣可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，可得FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD，則計算出∠BHF+∠CHG＝120°，從而得到∠FHG＝60°，于是可判斷△FHG為等邊三角形.

(3)拓展延伸：

利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD(當且僅當點B、A、D共線時取等號)得到BD的最大值為8，則GH的最大值為4，然后可確定△FHG的周長的最大值.

解：(1)觀察猜想：

如圖1，∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵AD＝AE，

∴BD＝CE，

∵點F，G，H分別是BE，CD，BC的中點

∴FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，

∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCA＝60°，∠CHG＝∠CBA＝60°，

∴∠FHG＝60°，

∴△FGH為等邊三角形；

故答案為：等邊三角形；

(2)探究證明：

△PMN的形狀不發生改變，仍然為等邊三角形.

理由如下：連接CE、BD，如圖2，

∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴把△ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到△CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，

與(1)一樣可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，

∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD，

∴∠BHF+∠CHG＝∠BCE+∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，

∴∠FHG＝60°，

∴△FHG為等邊三角形.

(3)拓展延伸：

∵GH＝BD，

∴當BD的值最大時，GH的值最大，

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD(當且僅當點B、A、D共線時取等號)

∴BD的最大值為2+6＝8，

∴GH的最大值為4，

∴△PMN的周長的最大值為12.