Question

（2013•錦州）如圖，拋物線y=-

1

8

x²+mx+n經過△ABC的三個頂點，點A坐標為（0，3），點B坐標為（2，3），點C在x軸的正半軸上．
（1）求該拋物線的函數關系表達式及點C的坐標；
（2）點E為線段OC上一動點，以OE為邊在第一象限內作正方形OEFG，當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，求線段OE的長；
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當點E和點C重合時停止運動．設平移的距離為t，正方形DEFG的邊EF與AC交于點M，DG所在的直線與AC交于點N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）在上述平移過程中，當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數關系式及自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，令y=0解方程，求出點C的坐標；
（2）如答圖1所示，由△CEF∽△COA，根據比例式列方程求出OE的長度；
（3）如答圖2所示，若△DMN是等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論；
（4）當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，如答圖3所示．利用S=S_{正方形DEFG}-S_梯形MEDN-S_△FJK求出S關于t的表達式，然后由二次函數的性質求出其最值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

8

x²+mx+n經過點A（0，3），B（2，3），
∴

n=3 - 1 8 ×22+2m+n=3

，
解得：

m= 1 4 n=3

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

8

x²+

1

4

x+3．
令y=0，即-

1

8

x²+

1

4

x+3=0，
解得x=6或x=-4，
∵點C位于x軸正半軸上，
∴C（6，0）．

（2）當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，如答圖1所示：

設OE=x，則EF=x，CE=OC-OE=6-x．
∵EF∥OA，
∴△CEF∽△COA，
∴

EF

OA

=

CE

OC

，即

x

3

=

6-x

6

，
解得x=2．
∴OE=2．

（3）存在滿足條件的t．理由如下：
如答圖2所示，

易證△CEM∽△COA，∴

ME

OA

=

CE

OC

，即

ME

3

=

4-t

6

，得ME=2-

1

2

t．
過點M作MH⊥DN于點H，則DH=ME=2-

1

2

t，MH=DE=2．
易證△MNH∽△COA，∴

NH

OA

=

MH

OC

，即

NH

3

=

2

6

，得NH=1．
∴DN=DH+HN=3-

1

2

t．
在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=

5

．
△DMN是等腰三角形：
①若DN=MN，則3-

1

2

t=

5

，解得t=6-2

5

；
②若DM=MN，則DM²=MN²，即2²+（2-

1

2

t）²=（

5

）²，
解得t=2或t=6（不合題意，舍去）；
③若DM=DN，則DM²=DN²，即2²+（2-

1

2

t）²=（3-

1

2

t）²，解得t=1．
綜上所述，當t=1、2或6-2

5

時，△DMN是等腰三角形．

（4）當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，如答圖3所示：

設EF、DG分別與AC交于點M、N，由（3）可知：ME=2-

1

2

t，DN=3-

1

2

t．
設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B（2，3）、C（6，0）代入得：

2k+b=3 6k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b= 9 2

，
∴y=-

3

4

x+

9

2

．
設直線BC與EF交于點K，
∵x_K=t+2，∴y_K=-

3

4

x_K+

9

2

=-

3

4

t+3，
∴FK=y_F-y_K=2-（-

3

4

t+3）=

3

4

t-1；
設直線BC與GF交于點J，
∵yJ=2，
∴2=-

3

4

x_J+

9

2

，得x_J=

10

3

，
∴FJ=x_F-x_J=t+2-

10

3

=t-

4

3

．
∴S=S_{正方形DEFG}-S_梯形MEDN-S_△FJK
=DE²-

1

2

（ME+DN）•DE-

1

2

FK•FJ
=2²-

1

2

[（2-

1

2

t）+（3-

1

2

t）]×2-

1

2

（

3

4

t-1）（t-

4

3

）
=-

3

8

t²+2t-

5

3

．
過點G作GH⊥y軸于點H，交AC于點I，則HI=2，HJ=

10

3

，
∴t的取值范圍是：2＜t＜

10

3

．
∴S與t的函數關系式為：S=-

3

8

t²+2t-

5

3

（2＜t＜

10

3

）．
S=-

3

8

t²+2t-

5

3

=-

3

8

（t-

8

3

）²+1，
∵-

3

8

＜0，且2＜

8

3

＜

10

3

，
∴當t=

8

3

時，S取得最大值，最大值為1．

點評：本題是典型的運動型二次函數壓軸題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一次函數、相似三角形、勾股定理、圖形面積計算、最值問題等知識點，考查了運動型問題、存在型問題和分類討論的數學思想，難度較大．解題關鍵是理解圖形的運動過程．