Question

【題目】（滿分10分）已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m．

（1）如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；

（2）如圖，二次函數(shù)的圖象過點A（3，0），與y軸交于點B，求直線AB與這個二次函數(shù)的解析式；

（3）在直線AB上方的拋物線上有一動點D，當D與直線AB的距離DE最大時，求點D的坐標，并求DE最大距離是多少？

Answer 1

【答案】(1) m>-1;(2) 直線AB的解析式為y=-x+3, 拋物線解析式為y=-x2+2x+3;(3) DE的最大值為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點時，△>0，即可得到結論；

（2）把點A（3，0）代入y=-x2+2x+m得到-9+6+m=0得到B（0，3），解方程組即可得到結論；

（3）過點D作y軸的垂線，垂足為C，再過點A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD，得到當DE的值越大時，S△ADB的面積越大，設D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y根據(jù)圖形的面積公式即可得到結論．

試題解析：

（1）當拋物線與x軸有兩個交點時，△>0，即4+4m>0，

∴m>-1.

（2） ∵點A(3，0)在拋物線y=-x2+2x+m上，

∴-9+6+m=0,∴m=3.

∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3，且B(0，3).

設直線AB的解析式為y=kx+b，將A(3，0)，B(0，3)代入y=kx+b中，得到

解得，∴直線AB的解析式為y=-x+3.

（3）過點D作y軸的垂線，垂足為C，再過點A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD.

∵AB為定值，∴當DE的值越大時， 的面積越大.

設D(x，y),DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y

∴

∵∴當時,

將代入y=-x2+2x+3，得到，即D(， )

又∵，且

∴.

∴

答：DE的最大值為.