Question

P、Q、R、S四個小球分別從正方形ABCD的四個定點A、B、C、D點出發，以同樣的速度分別沿AB、BC、CD、DA的方向滾動，其終點分別是B、C、D、A。

（1）不管滾動多長時間，求證：四邊形PQRS為正方形；
（2）連結對角線AC、BD、PR、SQ，你發現四條對角線有何關系？
（3）根據此圖，若有四個全等的直角三角形，你能否拼成一個正方形？若這個三角形直角邊為a、b，斜邊問c，你能否根據面積推導出勾股定理？

Answer 1

（1）見解析（2）四條對角線相交于一點，且互相平分（3）能拼成一個正方形，見解析

（1）四個動點，P、Q、E、F分別從正方形ABCD的頂點A、B、C、D同時出發，沿著AB、BC、CD、DA以同樣速度向B、C、D、A移動可得AP=BQ=CF=DS，PB=QC=FD=SA．
可得△APS≌△BQP≌△CFQ≌△DFS，
得PQ=QF=FS=SP．
∠SPA=∠PQB．
又∠PQB+∠QPB=90°，
所以∠FPA+∠QPB=90°，∠FPQ=90°．
所以PQEF為正方形．（3分）
（2）四條對角線相交于一點，且互相平分．（1分）
（3）能拼成一個正方形．用面積的方法來證明
直角邊分別是a，b．斜邊是c，
整個大正方形的面積應該是（a+b）²
而一個一個進行分解計算，4個小三角形的面積是4×ab=2ab．
中間的正方形面積是c²
則（a+b）²=2ab+c²，分解開就可以得到a²+b²=c²．（4分）
（1）可先證明△APF≌△BQP≌△CEQ≌△DFE，得PQ=QE=EF=FP；再證∠FPQ=90°；
（2）用面積的方法來證明，拼出的大正方形的面積，既可以用正方形面積公式求得，也可以用中間四個小三角形和小正方形的面積和來表示，列出相等關系，即可求證．