Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度沿AC勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)以同樣的速度沿CB的延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PQ交AB于點(diǎn)D.

⑴當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ為直角三角形？

⑵求DE的長(zhǎng).

⑶取線段BC的中點(diǎn)M，連接PM，將△CPM沿直線PM翻折，得到△C，PM，連接AC，，當(dāng)t= 時(shí)，AC，的值最小，最小值為 .

Answer 1

【答案】（1）4；（2）6；（3），

【解析】

（1）由△ABC是等邊三角形，可知∠C=60°，再由CQ=2CP列式即可求得t的值；

（2）過點(diǎn)Q作QF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于F，易證△PEA≌△QFB(AAS)，則EF=AB=12cm，易證△PED≌△QFD(AAS)，DE=DF，即可求得DE=EF=6；

（3）分析可知，點(diǎn)的軌跡為如圖所示，過點(diǎn)P作PN⊥MN，當(dāng)A，，M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)求解即可．

解：(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C=60°，

∴當(dāng)CQ=2CP時(shí)，∠CPQ=90°，

∴12+t=2(12-t)，

∴t=4，

∴t=4時(shí)，△CPQ是直角三角形．

(2)如圖，過點(diǎn)Q作QF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于F，

∵PE⊥AB，

∴∠PEA=∠F=90°，

∵PA=QB，∠A=∠ABC=∠QBF=60°，

∴△PEA≌△QFB(AAS)，

∴AE=BF，

∴EF=AB=12cm，

∵∠PED=∠F=90°，∠PDE=∠QDF，PE=QF，

∴△PED≌△QFD(AAS)，

∴DE=DF，

∴DE=EF=6．

(3)分析可知，點(diǎn)的軌跡為如圖所示，過點(diǎn)P作PN⊥MN，

∴當(dāng)A，，M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，

∵△ABC為等邊三角形，M為BC中點(diǎn)，

∴AM⊥BC，∠ACM=60°，

∴，

∴,

又∵，

∴，

設(shè)，則，

∴，

又∵，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴，

∴

∴，

即當(dāng)時(shí)，AC，的值最小，最小值為，

故答案為：，．