Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：

①當x＞0時，y＞0；

②若a＝﹣1，則b＝4；

③拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2；

④點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，當m＝2時，四邊形EDFG周長的最小值為6．

其中真命題的序號是（　　）

A. ①B. ②C. ③D. ④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據二次函數所過象限，判斷出y的符號；

②根據A、B關于對稱軸對稱，求出b的值；

③根據＞1，得到x1＜1＜x2，從而得到Q點距離對稱軸較遠，進而判斷出y1＞y2；

④作D關于y軸的對稱點D′，E關于x軸的對稱點E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．求出D、E、D′、E′的坐標即可解答．

①當x＞0時，函數圖象過一四象限，當0＜x＜b時，y＞0；當x＞b時，y＜0，故本選項錯誤；

②二次函數對稱軸為x＝﹣ ，當a＝﹣1時有 ＝1，解得b＝3，故本選項錯誤；

③∵x1+x2＞2，

∴ ＞1，

又∵x1﹣1＜0＜x2﹣1，

∴Q點距離對稱軸較遠，

∴y1＞y2，故本選項正確；

④如圖，作D關于y軸的對稱點D′，E關于x軸的對稱點E′，

連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．

當m＝2時，二次函數為y＝﹣x2+2x+3，頂點縱坐標為y＝﹣1+2+3＝4，D為（1，4），則D′為（﹣1，4）；C點坐標為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，﹣3）；

則DE＝ ；D′E′＝ ；

∴四邊形EDFG周長的最小值為 ，故本選項錯誤．

故選：C．