Question

【題目】如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合，得到折痕MN，將紙片展平；再一次折疊，使點D落到MN上的點F處，折痕AP交MN于E；延長PF交AB于G．求證：

（1）△AFG≌△AFP；

（2）△APG為等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由折疊的性質得到M、N分別為AD、BC的中點，利用平行線分線段成比例得到F為PG的中點，再由折疊的性質得到AF垂直于PG，利用SAS即可得證；

（2）由（1）的全等三角形，得到對應邊相等，利用三線合一得到∠2=∠3，由折疊的性質及等量代換得到∠PAG為60°，根據AP=AG且有一個角為60°即可得證．

（1）由折疊可得：M、N分別為AD、BC的中點，

∵DC∥MN∥AB，

∴F為PG的中點，即PF=GF，

由折疊可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，

在△AFP和△AFG中，

，

∴△AFP≌△AFG（SAS）；

（2）∵△AFP≌△AFG，

∴AP=AG，

∵AF⊥PG，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠2=∠3=30°，

∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，

∴△APG為等邊三角形．