Question

已知：如圖，以一底角為67.5°的等腰梯形ABCD的一腰BC為直徑做⊙O，交底AB于E，且恰與另一腰AD相切于M；
（1）求證：△EOM為等腰直角三角形；
（2）求的值．

Answer 1

（1）證明：∵OB=OE，
∴∠1=∠2=67.5°，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠A=∠2=67.5°，
∴∠1=∠A，
∴OE∥AD，
∵AD與⊙O相切于M，
∴OM⊥AD，
∴OE⊥OM，
∴△EOM為等腰直角三角形；

（2）解：設⊙O的半徑為r，OE=OM=r，
由（1）可知，
∴∠OEM=45°，
∴ME=r，
∵∠3=180°-（∠OME+∠1）=180°-（67.5°+45°）=67.5°，
∴△AME∽△EOB，
∴BE：AE=OE：ME，
∴BE：AE=r：r=1：=：2．
分析：（1）根據四邊形ABCD為等腰梯形，得出∠1=∠A，從而推出OE∥AD，再根據OM⊥AD，即可得到△EOM為等腰直角三角形．
（2）證出△AME∽△EOB，再根據相似三角形的性質解題即可．
點評：此題考查了切線的性質和判定、等腰梯形的性質、等腰梯形的判定等內容，綜合性較強，考查了同學們的分析問題的能力．