Question

【題目】如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．

（1）求證：AE=BG

（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉α（0°＜α≤360°）如圖2所示，判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果仍成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；

（3）若BC=DE=4，當旋轉角α為多少度時，AE取得最大值？直接寫出AE取得最大值時α的度數，并利用備用圖畫出這時的正方形DEFG，最后求出這時AF的值．

圖1 圖2 備用圖

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立；（3）270°，

【解析】試題分析（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；

（2）連接AD，根據直角三角形與正方形的性質可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進而可得BG=AE；

（3）根據（2）的結論，求BG的最大值，分析可得此時F的位置，由勾股定理可得答案．

試題解析：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC=DB，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DE=DG，

∴△ADE≌△BDG（SAS），

∴BG=AE；

（2）成立；

理由如下：如圖2，連接AD，

由（1）知AD=BD，AD⊥BC．

∴∠ADG+∠GDB=90°．

∵四邊形EFGD為正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°．

∴∠ADG+∠ADE=90°

∴∠BDG=∠ADE．

在△BDG和△ADE中，

∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，

∴△BDG≌△ADE（SAS）

∴AE=BG；

（3）α=270°；

正方形DEFG如圖3所示

由（2）知BG=AE

∴當BG取得最大值時，AE取得最大值．

∵BC=DE=4，

∴EF=4，

∴BG=2+4=6

∴AE=6

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF=.