Question

已知x₁、x₂是拋物線y=x²-2（m-1）x+m²-7與x軸的兩個交點的橫坐標，且x₁²+x₂²=10．
求：（1）x₁、x₂的值；
（2）拋物線的頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意x₁、x₂是拋物線y=x²-2（m-1）x+m²-7與x軸的兩個交點的橫坐標，根據根與系數的關系，寫出兩根之積與兩根之和，再根據x₁²+x₂²=10，求出m的值，從而求出x₁、x₂的值；
（2）由（1）求出函數的解析式，然后再根據函數的頂點坐標公式來求解．

解答：解：（1）拋物線y=x²-2（m-1）x+m²-7與x軸有兩個交點，
∴當x²-2（m-1）x+m²-7=0時，由根與系數的關系得

x1+x2=2(m-1) x1x2=m2-7

則x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2m²-8m+18
因為x₁²+x₂²=10，
所以2m²-8m+18=10，即x²-4x+4=0，
解之得m=2，
將m=2代入x²-2（m-1）x+m²-7=0得方程x²-2x-3=0，
解這個方程得x₁=-1，x₂=3，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）因為x₁，x₂是拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，
所以拋物線的對稱軸為x=1，
將x=1代入拋物線y=x²-2x-3，得y=-4，
所以拋物線的頂點坐標為（1，-4）．

點評：主要考查根與系數的關系及一元二次方程與函數的關系，函數與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，還考查了函數的對稱軸及頂點坐標公式．