Question

9．如圖，圓中的弦AB與弦CD垂直于點E，點F在$\widehat{BC}$上，$\widehat{AC}$=$\widehat{BF}$，直線MN過點D，且∠MDC=∠DFC，求證：直線MN是該圓的切線．

Answer 1

分析 利用同弧所對的圓周角相等的出∠AOC=∠BOF，再用同角的余角相等，即可判斷出垂直，即可．

解答 證明：設該圓的圓心為點O，

在⊙O中，∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BF}$，
∴∠AOC=∠BOF．
又∠AOC=2∠ABC，∠BOF=2∠BCF，
∴∠ABC=∠BCF．
∴AB∥CF．
∴∠DCF=∠DEB．
∵DC⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠DCF=90°．
∴DF為⊙O直徑．
且∠CDF+∠DFC=90°．
∵∠MDC=∠DFC，
∴∠MDC+∠DFC=90°．
即  DF⊥MN．
又∵MN過點D，
∴直線MN是⊙O的切線．

點評 此題是切線的判定，主要考查了圓的性質，垂直的判斷方法，同角的余角相等，得出DF是直徑是解本題的關鍵．