Question

某人要做一批地磚，每塊地磚（如圖1）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH．
（1）直接判定四邊形EFGH的形狀；
（2）設CE=x米．
①用x的代數式表示四邊形AEFD的面積；
②若△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為120元、80元、40元．試問x取何值時，這批地磚的材料費最省？

Answer 1

解：（1）四邊形EFGH是正方形．

（2）①∵CE=x
∴CF=CE=x，BE=BC-CE=0.4-x
∴S_△ECF=CE×CF=0.5x²
S_△ABE=AB×BE=×0.4×（0.4-x）=0.08-0.2x
S_{四邊形AEFD}=S_{正方形ABCD}-S_△ECF-S_△ABE
=0.4×0.4-0.5x²-（0.08-0.2x）
=-0.5x²+0.2x+0.08
②設每塊地磚的材料費為W元，
則W=120×0.5x²+80×（0.08-0.2x）+40（-0.5x²+0.2x+0.08）
=40x²-8x+9.6
=40[（x-0.1）²+0.23]
∵0＜x≤0.4
∴當x=0.1時，W有最小值，其最小值為9.2元．
分析：（1）易得四條邊相等；∠FEH為兩個45°的和，為90°，那么四邊形EFGH是正方形．
（2）①四邊形AEFD的面積=正方形的面積-S_△ABE-S_△EFC
②材料費=△CFE所用的資金+△ABE所用的資金+四邊形AEFD所用的資金，用含x的二次函數表示出來，求出最值即可．
點評：用到的知識點為：有一個角是直角的菱形是正方形；求出一塊料的最值也就求出了這批料的最值．