Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（﹣2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）如圖①，當(dāng)α=90°時，求AE′，BF′的長；

（2）如圖②，當(dāng)α=135°時，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′；

（3）若直線AE′與直線BF′相交于點P，求點P的縱坐標(biāo)的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）AE′=，BF′=；（2）答案見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理即可求出的長．
（2）運用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問題．
（3）首先找到使點P的縱坐標(biāo)最大時點P的位置（點P與點D′重合時），然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標(biāo)的最大值．

試題解析：(Ⅰ)當(dāng)時,點E′與點F重合，如圖①，

∵點A(2,0)點B(0,2)，

∴OA=OB=2.

∵點E，點F分別為OA，OB的中點，

∴OE=OF=1，

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到的，

∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.

在Rt△AE′O中，

在Rt△BOF′中，

∴AE′,BF′的長都等于

(Ⅱ)當(dāng)時,如圖②，

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)所得，

在△AOE′和△BOF′中，

∴△AOE′≌△BOF′(SAS).

∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴AE′⊥BF′.

(Ⅲ) ，∴點P、B. A.O四點共圓，

∴當(dāng)點P在劣弧OB上運動時，點P的縱坐標(biāo)隨著∠PAO的增大而增大，

∵OE′=1,∴點E′在以點O為圓心,1為半徑的上運動,

∴當(dāng)AP與相切時,∠E′AO(即∠PAO)最大，

此時點D′與點P重合，點P的縱坐標(biāo)達到最大，

過點P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示，

∴點P的縱坐標(biāo)的最大值為