Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.

(1) 結合圖形，請你寫出你認為正確的結論；

(2) 過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. 請你寫出圖中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之間的關系；

(3) 若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？若有，請寫出所有的等腰三角形，若沒有，請說明理由；線段EF、BE、FC之間，上面探究的結論是否還成立？

Answer 1

【答案】（1）結論：∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO（本題結論不唯一，正確即可），理由詳見解析；（2）等腰三角形有：△ABC、△AEF，△BEO，△COF，△BOC；EF、BE、FC之間的關系EF=BE+CF， 理由詳見解析；（3）圖中的等腰三角形有：△BEO，△COF ；結論仍然成立，理由詳見解析.

【解析】

（1））結論：∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO，根據等腰三角形的性質及角平分線的定義即可證明（本題答案不唯一）；（2）等腰三角形有：△ABC、△AEF，△BEO，△COF，△BOC；EF、BE、FC之間的關系EF=BE+CF，由（1）可得，△ABC、△BOC是等腰三角形；由平行線的性質及等腰三角形的性質與判定即可證得△AEF是等腰三角形；由平行線的性質及角平分線的定義即可證得△BEO，△COF是等腰三角形，EF=BE+CF；（2）圖中的等腰三角形有：△BEO，△COF ；結論仍然成立，類比（2）的方法證明即可.

（1）結論：∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO，理由如下：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO．

（2）等腰三角形有：△ABC、△AEF，△BEO，△COF，△BOC；EF、BE、FC之間的關系EF=BE+CF， 理由如下：

由（1）可得，△ABC、△BOC是等腰三角形；

∵EF∥BC，

∴∠ABC=∠AEF，∠AFE=∠ACB,

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF,

即△AEF是等腰三角形；

∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC；

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，

∴∠EBO=∠EOB；

∴EO=BE，

∴△BEO是等腰三角形；

同理可得OF=FC，

∴△COF是等腰三角形；

∴EO+OF=BE+FC，

即EF=BE+CF．

（3）圖中的等腰三角形有：△BEO，△COF ；結論仍然成立，理由如下：

∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC；

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，

∴∠EBO=∠EOB；

∴EO=BE，

∴△BEO是等腰三角形；

同理可得OF=FC，

∴△COF是等腰三角形；

∴EO+OF=BE+FC，

即EF=BE+CF．