Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，點E，F分別在邊AD、BC上，且B、F關于過點E的直線對稱，如果以CD為直徑的圓與EF相切，那么AE= ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：如圖，設⊙O與EF相切于M，連接EB，作EH⊥BC于H．
由題意易知四邊形AEHB是矩形，設AE=BH=x，
由切線長定理可知，ED=EM，FC=FM，
∵B、F關于EH對稱，
∴HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2 ，
∴42+x2=（14﹣3x）2 ，
解得x=3或 （舍棄），
∴AE=3，
所以答案是3．
【考點精析】掌握矩形的性質和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．