Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，矩形的頂點，將矩形的一個角沿直線 折疊，使得點 落在對角線 上的點 處，折痕與 軸交于點 .

（1）求直線所對應的函數表達式；

（2）若點 在線段上，在線段 上是否存在點 ，使以 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=2x-10；（2）存在點，Q（，）， 使以為頂點的四邊形為平行四邊形.

【解析】

（1）由矩形的性質可得出點B的坐標及OA，AB的長，利用勾股定理可求出OB的長，設AD=a，則DE=a，OD=8-a，OE=OB-BE=10-6=4，利用勾股定理可求出a值，進而可得出點D的坐標，再根據點B，D的坐標，利用待定系數法可求出直線BD所對應的函數表達式；

（2）先假設存在點P 滿足條件，過E作 交BC于P作，交BD 于Q點，這樣得到點Q，四邊形 即為所求平行四邊形，過E作 得 ， 可得E點坐標， 根據點B、E坐標求出直線BD的解析式， 又 根據平行的直線，k值相等，求出PE解析式， 再求點出P坐標，從而求解.

（1）由題意，得：點B的坐標為（8，6），OA=8，AB=OC=6，
∴OB= =10．
設AD=a，則DE=a，OD=8-a，OE=OB-BE=10-6=4．
∵OD2=OE2+DE2，即（8-a）2=42+a2，
∴a=3，
∴OD=5，
∴點D的坐標為（5，0）．
設直線BD所對應的函數表達式為y=kx+b（k≠0），
將B（8，6），D（5，0）代入y=kx+b，得：

解得： ∴直線BD所對應的函數表達式為y=2x-10．

（2）如圖2，假設在線段 上存在點P 使 為頂點的四邊形為平行四邊形，過E作 交BC于P，過點P作，交BD 于Q點，四邊形 即為所求平行四邊形，過E作 得 ，，

，

直線 ，

又 ， ，

，在線段上存在點P（5，6），

使以為頂點的四邊形為平行四邊形，

∵，設點Q的坐標為（m，2m-10），四邊形DEPQ為平行四邊形，

D（5，0），，點P的縱坐標為6，
∴6-（2m-10）=-0，解得：m=，
∴點Q的坐標為（，）．
∴存在，點Q的坐標為（，）．