Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4），與y軸交于點C，作直線BC，連接AC、CD．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD=∠ACO的點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4，(2) 點E的坐標為（1，），（3，）．

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣x1）（x﹣x2），再把點代入即可得出解析式；

（2）分兩種情況：①當點E在直線CD的拋物線上方；②當點E在直線CD的拋物線下方；連接CE，過點E作EF⊥CD，再由三角函數得出點E的坐標．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣2，0），點B（4，0），點D（2，4），

∴設拋物線的解析式為y=a（x﹣x1）（x﹣x2），

∴y=a（x+2）（x﹣4），

∴﹣8a=4，

∴a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4，

（2）①當點E在直線CD的拋物線上方，記E′，連接CE′，過點E′作E′F′⊥CD，垂足為F′，

由（1）得OC=4，

∵∠ACO=∠E′OF′，

∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，

∴，

設線段E′F′=h，則CF′=2h，

∴點E′（2h，h+4），

∵點E′在拋物線上，

∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，

∴h1=0（舍去），h2=，

∴E′（1，）；

②當點E在直線CD的拋物線下方；

同①的方法得，E（3，），

綜上，點E的坐標為（1，），（3，）．