Question

矩形ABCD中，已知：AD=6，DC=8，矩形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF，設AE=x，△FCG的面積=y．
（1）如圖1，當四邊形EFGH為正方形時，求x和y的值；
（2）如圖2，①求y與x之間的函數關系式與自變量的取值范圍；
②連接AC，當EF∥AC時，求x和y的值；
③當△CFG是直角三角形時，求x和y的值．

Answer 1

分析：（1）作FM⊥CD于M，根據正方形的性質可以得到△AEH≌△DHG≌△MGF，根據全等三角形的對應邊相等，可得到結論．
（2）①因為△AEH∽△DHG，相似三角形的對應線段成比例，可求出y與x的函數式．
②連接AC，因為△DHG∽△DAC，而相似三角形的對應線段成比例，可求出y與x的函數式．
③由畫圖可知∠FGC和∠GCF都不能為直角，當∠GFC=90°時，E、F、C三點在一條直線上，所以△AEH∽△BCE，根據相似三角形的對應線段成比例可求出解．

解答：解：（1）作FM⊥CD于M，
∵△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴x=AE=DH=6-2=4，DG=AH=2，
∴y=△FCG的面積=

1

2

×6×2=6；

（2）①∵△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

=

DH

AE

，
即

DG

2

=

4

x

，
∴DG=

8

x

∴y=△FCG的面積=

1

2

×(8-

8

x

)×2=8-

8

x

，
∴1＜x≤8；
②∵△DHG∽△DAC，
∴

DH

DA

=

DG

DC

，
即

4

6

=

DG

8

，
∴DG=

16

3

．
∴GC=8-

16

3

=

8

3

，
∴y=

1

2

×

8

3

×2=

8

3

，
∴x=

3

2

．
③當∠GFC=90°時，E、F、C三點在一條直線上，
∴△AEH∽△BCE
∴

AE

BC

=

AH

BE

，
即

x

6

=

2

8-x

，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y=

20

3

．
當∠GCF=90°時，此時F點正好落在邊BC上，
則△HAE∽△GDH，
則

HA

AE

=

GD

DH

，
解得：x=4+2

2

或4-2

2

，
對應的y=4+2

2

或4-2

2

．
當∠CGF=90°時，C，G，H共線，所以不可能；

點評：本題考查了矩形的性質，正方形的性質，以及全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質定理等知識點．