Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象過點A（3，0），C（﹣1，0）．

(1)求二次函數的解析式；

(2)如圖，點P是二次函數圖象的對稱軸上的一個動點，二次函數的圖象與y軸交于點B，當PB+PC最小時，求點P的坐標；

(3)在第一象限內的拋物線上有一點Q，當△QAB的面積最大時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)當m=時，S最大，此時Q（，）．

【解析】

（1）把點A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，解方程即可得到結論；

（2）連結AB，與對稱軸交于點P，此時PB+PC最小．根據拋物線解析式求出B（0，3），利用待定系數法求出直線AB的解析式，于是得到結論；

（3）設Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面積為S，連接QA，QB，OQ，根據S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB求出S與m的關系式，利用函數的性質求出m的值，進而得到結論．

（1）把點A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，

得，解得，

則拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）連結AB，與對稱軸交于點P，此時PB+PC最小．

在y=-x2+2x+3中，當x=0時，y=3，則B（0，3）．

設直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（3，0），B（0，3），

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+3，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴對稱軸是直線x=1．

當x=1時，y=-1+3=2，

∴P（1，2）；

（3）設Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面積為S，如圖，連接QA，QB，OQ．

則S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB

=×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3

=-m2+m

=-（m-）2+，

∴當m═時，S最大，此時Q（，）．