Question

探究問題：
（1）閱讀理解：
①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離；
②如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此為托勒密定理；

（2）知識遷移：
①請你利用托勒密定理，解決如下問題：
如圖（C），已知點P為等邊△ABC外接圓的

BC

上任意一點．求證：PB+PC=PA；
②根據（2）①的結論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在

BC

上任取一點P′，連接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+

 

；
第三步：請你根據（1）①中定義，在圖（D）中找出△ABC的費馬點P，并請指出線段

 

的長度即為△ABC的費馬距離．

（3）知識應用：
2010年4月，我國西南地區出現了罕見的持續干旱現象，許多村莊出現了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．
已知三村莊A、B、C構成了如圖（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．

Answer 1

分析：（2）知識遷移①問，只需按照題意套用托勒密定理，再利用等邊三角形三邊相等，將所得等式兩邊都除以等邊三角形的邊長，即可獲證． ②問，借用①問結論，及線段的性質“兩點之間線段最短”數學容易獲解．
（3）知識應用，在（2）的基礎上先畫出圖形，再求解．

解答：（2）①證明：由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB=PA•BC
∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC=BC，
∴PB+PC=PA，
②P′D、AD，

（3）解：如圖，以BC為邊長在△ABC的外部作等邊△BCD，連接AD，則知線段AD的長即為△ABC的費馬距離．
∵△BCD為等邊三角形，BC=4，
∴∠CBD=60°，BD=BC=4，
∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4，
∴AD=

AB2+BD2

=

32+42

=5（km），
∴從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度的最小值為5km．

點評：此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質、三角形相似、解直角三角形等知識．難度很大，有利于培養同學們鉆研問題和探索問題的精神．