Question

【題目】定義：在同一平面內畫兩條相交、有公共原點的數軸x軸和y軸，交角a≠90°，這樣就在平面上建立了一個斜角坐標系，其中w叫做坐標角，對于坐標平面內任意一點P，過P作y軸和x軸的平行線，與x軸、y軸相交的點的坐標分別是a和b，則稱點P的斜角坐標為(a，b)．如圖，w=60°，點P的斜角坐標是(1，2)，過點P作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形OMPN的面積是( )

A.B.C.D.3

Answer 1

【答案】B

【解析】

添加輔助線，將四邊形OMPN轉化為直角三角形和平行四邊形，因此過點P作PA∥y軸，交x軸于點A，過點P作PB∥x軸交y軸于點B，易證四邊形OAPB是平行四邊形，利用平行四邊形的性質，可知OB=PA，OA=PB，由點P的斜角坐標就可求出PB、PA的長，再利用解直角三角形分別求出PN，NB，PM，AM的長，然后根據S四邊形OMPN=S△PAM+S△PBN+S平行四邊形OAPB ， 利用三角形的面積公式和平行四邊形的面積公式，就可求出結果.

解：過點P作PA∥y軸，交x軸于點A，過點P作PB∥x軸交y軸于點B，

∴四邊形OAPB是平行四邊形，∠NBP=w=∠PAM=60°，

∴OB=PA，OA=PB

∵點P的斜角坐標為（1，2），

∴OA=1，OB=2，

∴PB=1，PA=2，

∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，

∴∠PMA=∠PNB=90°，

在Rt△PAM中，∠PAM=60°，則∠APM=30°，

∴PA=2AM=2，即AM=1

PM=PAsin60°

∴PM=

∴S△PAM=

在Rt△PBN中，∠PBN=60°，則∠BPN=30°，

∴PB=2BN=1，即BN=

PN=PBsin60°

∴PN=

∴S△PBN=，

∵S四邊形OMPN=S△PAM+S△PBN+S平行四邊形OAPB

故答案為：B