Question

【題目】如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一過點C的動圓⊙O與斜邊AB相切于動點P，連接CP．

（1）當⊙O與直角邊AC相切時，如圖2所示，求此時⊙O的半徑r的長；

（2）隨著切點P的位置不同，弦CP的長也會發生變化，試求出弦CP的長的取值范圍．

（3）當切點P在何處時，⊙O的半徑r有最大值？試求出這個最大值．

Answer 1

【答案】(1) r=；(2) ≤PC≤4；(3) ．

【解析】

試題分析：（1）先根據勾股定理求出AB的長，再由切線的性質求出PB的長，過P作PQ⊥BC于Q，過O作OR⊥PC于R，根據PQ∥AC得出PC的長，再由△COR∽△CPQ即可得出r的值；

（2）根據最短PC為AB邊上的高，最大PC=BC=4即可得出結論；

（3）當P與B重合時，圓最大．這時，O在BD的垂直平分線上，過O作OD⊥BC于D，由BD=BC=2，由于AB是切線可知∠ABO=90°，∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，故可得出∠ABC=∠BOD，根據銳角三角函數的定義即可得出結論．

試題解析：（1）如圖1，

∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=．

∵AC、AP都是圓的，圓心在BC上，AP=AC=3，

∴PB=2，

過P作PQ⊥BC于Q，過O作OR⊥PC于R，

∵PQ∥AC，

∴，

∴PQ=，BQ=，

∴CQ=BC-BQ=，

∴PC=，

∵點O是CE的中點，

∴CR=PC=，

∴∠PCE=∠PCE，∠CRO=∠CQP，

∴△COR∽△CPQ，

∴，即，解得r=；

（2）∵最短PC為AB邊上的高，即PC==，最大PC=BC=4，

∴≤PC≤4；

（3）如圖2，當P與B重合時，圓最大．O在BD的垂直平分線上，過O作OD⊥BC于D，由BD=BC=2，

∵AB是切線，

∴∠ABO=90°，

∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，

∴∠ABC=∠BOD，

∴=sin∠BOD=sin∠ABC=，

∴OB=，即半徑最大值為．