Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，點P為AB的中點，E為BC上一動點，過P點作FP⊥PE交AC于F點，經過P、E、F三點確定⊙O．

（1）試說明：點C也一定在⊙O上．

（2）點E在運動過程中，∠PEF的度數是否變化？若不變，求出∠PEF的度數；若變化，說明理由．

（3）求線段EF的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）∠PEF的度數不變，是45°（3）EF最大是8，最小是

【解析】

試題（1）先根據直徑所對的圓周角是直角，先證得EF是直徑，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得點C在圓上即可；

（2）根據線段的垂直平分線的判定，可證得PE=PF，得到△PEF是等腰直角三角形；

（3）根據E點的移動，可知當E與C重合時，EF最長，而當EF為△ABC的中位線時，EF最短，求出即可.

試題解析：（1）∵FP⊥PE，

∴∠FPE=90°，

∴EF為直徑，

∴OP=OE=OF，

∵∠C=90°，

∴OC=OE=OF，

∴點C在⊙O上，

（2）∵P、E、F共圓，

∴OP=OE=OF，

∴PE=PF，

∵FP⊥PE，

∴∠PEF的度數不變，是45°．

（3）當E與C重合時，EF最長，此時EF=AC=8；

當EF為△ABC的中位線時，EF最短，根據勾股定理可得AB=8，

根據三角形的中位線可得EF=4，

所以EF最大是8，最小是 .