Question

17．如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的一點(diǎn)，AE⊥EF，下列結(jié)論：①∠BAE=30°；②CE²=AB•CF；③CF=$\frac{1}{3}$FD；④△ABE∽△AEF，其中正確的有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則BE=CE=a，AE=$\sqrt{5}$a，根據(jù)正切的定義可對(duì)①進(jìn)行判斷；通過證明Rt△ABE∽R(shí)t△ECF，利用相似比得到CE²=AB•CF，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由②得到CF=$\frac{1}{2}$a，則DF=$\frac{3}{2}$a，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用勾股定理可得到EF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，則有$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BE}{EF}$，根據(jù)相似三角形的判定可得△ABE∽△AEF，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則BE=CE=a，AE=$\sqrt{5}$a，
∵tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAE≠30°，所以①錯(cuò)誤；
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠FEC，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△ECF，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\frac{AB}{CE}$，
∴CE²=AB•CF，所以②正確；
即CF=$\frac{{a}^{2}}{2a}$=$\frac{1}{2}$a，
∴DF=CD-CF=2a-$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{2}$a，
∴CF=$\frac{1}{3}$DF，所以③正確；
在Rt△CEF中，EF=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∵$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{BE}{EF}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{5}}{2}a}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BE}{EF}$，
而∠ABE=∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，所以④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了正方形的性質(zhì)．