Question

【題目】已知：如圖，∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．
①求證：BE=CF；
②若AF=5，BC=6，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】證明：①連結CD，

∵D在BC的中垂線上
∴BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
AD平分∠BAC
∴DE=DF
∠BED=∠DCF=90°
在RT△BDE和RT△CDF中，
，
∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），
∴BE=CF；
②解：由（HL）可得，Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=5，
∴△ABC的周長=AB+BC+AC，
=（AE+BE）+BC+（AF﹣CF）
=5+6+5
=16．
【解析】①連接CD，根據垂直平分線性質可得BD=CD，可證RT△BDE≌RT△CDF，可得BE=CF；②根據Rt△ADE≌Rt△ADF得出AE=AF解答即可．