Question

【題目】如圖，二次函數(shù)（a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．若以BD為直徑的⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

（1）請(qǐng)直接寫出C，D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）⊙M上是否存在點(diǎn)E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，請(qǐng)求出所滿足的條件的E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標(biāo)為（0，﹣3a），D的坐標(biāo)為（1，﹣4a）；（2）；（3）（4，1）、（，）．

【解析】

試題分析：（1）計(jì)算橫坐標(biāo)為0的函數(shù)值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后將解析式配成頂點(diǎn)式即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）先利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圓周角定理得到∠BCD=90°，則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出BC，CD，BD，接著利用勾股定理建立方程，然后解方程求出a即可得到二次函數(shù)解析式；

（3）先計(jì)算出，，再根據(jù)圓周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，則CD=BE，接著證明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，設(shè)E（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得，，然后解方程組得x=4，y=1或x=，y=，從而可得滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，=﹣3a，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3a）；

∵=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4a）；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，，解得，，則A（﹣1，0），B（3，0），∵BD為⊙M的直徑，∴∠BCD=90°，而=，==，==，在Rt△BCD中，∵，∴，整理得，解得a=﹣1或a=1（舍去）；∴拋物線解析式為：；

（3）存在．a(chǎn)=1，，，∵∠EDB=∠CBD，∴CD=BE，而BD為直徑，∴∠BED=90°，∴Rt△BED≌Rt△DCB，∴DE=BC，設(shè)E（x，y），∴=，=，∴，，解得x=4，y=1或x=，y=，∴滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）、（，）．