Question

【題目】已知正六邊形的邊長為，點為六邊形內(nèi)任一點，則點到各邊距離之和為______．

Answer 1

【答案】18

【解析】

過P作AB的垂線，交AB、DE分別為H、K，連接BD，由正六邊形的性質(zhì)可知AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，故HK⊥DE，過C作CG⊥BD，由等腰三角形的性質(zhì)及正六邊形的內(nèi)角和定理可知，DB⊥AB⊥DE，再由銳角三角函數(shù)的定義可求出BG的長，進(jìn)而可求出BD的長，由正六邊形的性質(zhì)可知點P到AF與CD的距離和及P到EF、BC的距離和均為BD的長，故可得出結(jié)論．

解：過P作AB的垂線，交AB、DE分別為H、K，連接BD，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF與CD的距離和及P到EF、BC的距離和均為HK的長，

∵BC＝CD，∠BCD＝∠ABC＝∠CDE＝120°，

∴∠CBD＝∠BDC＝30°，

∴BD∥HK，且BD＝HK，

∵CG⊥BD，

∴BD＝2BG＝2×BC×cos∠CBD＝2×2＝6，

∴點P到各邊距離之和為3BD＝3×6＝18．

故答案為：18．