Question

【題目】如圖1，長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且+|BC﹣6|=0，點P、Q分別是邊AD、AB上的動點．

（1）求BD的長（長度單位是cm）；

（2）如圖2，若點P從D點出發，以2cm/s的速度沿DA向點A運動，點Q從B點出發，以1cm/s的速度沿BA向點A運動，P、Q同時出發，一個點到達終點時，兩點同時停止運動；設運動時間為x，用含x的代數式表示△CPQ的面積S．

（3）如圖3，在BC上取一點E，使EB=1，那么當△EPC是等腰三角形時，請直接寫出△EPC的周長．

Answer 1

【答案】(1)、2cm；(2)、S=12－；(3)、（10+2）cm或（5+）cm．

【解析】

試題分析：(1)、由條件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的長；(2)、根據題意得出BQ=x，PD=2x，AQ=4﹣x，AP=6﹣2x，△CPQ的面積S=矩形ABCD的面積﹣△APQ的面積﹣△CDP的面積﹣△BCQ的面積，即可得出結果；(3)、求出CE=6﹣1=5，分三種情況：①當CP=CE=5時，作EM⊥AD于M，則AM=EB=1，EM=AB=4，由勾股定理求出PD，得出PM，再由勾股定理求出PE，即可得出△EPC的周長；

②當PE=CE=5時，同①得：△EPC的周長=10+2；③當PC=PE時，作PN⊥BC于N，則PN=CD=4，EN=CN=CE=2.5，由勾股定理得出PE=PC=，求出△EPC的周長，即可得出結論．

試題解析：(1)、連接BD，如圖1所示， ∵+|BC﹣6|=0， ∴AB=4，BC=6，

∴AD=BC=6， 在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD===2（cm）；

(2)、連接CQ、PQ、CP，如圖2所示， 根據題意得：BQ=x，PD=2x，AQ=4﹣x，AP=6﹣2x

△CPQ的面積S=矩形ABCD的面積﹣△APQ的面積﹣△CDP的面積﹣△BCQ的面積

=6×4﹣×（6﹣2x）（4﹣x）﹣×2x×4﹣×6×x=12﹣x2（cm2）；

（3）∵BC=6，EB=1， ∴CE=6﹣1=5， 分三種情況： ①當CP=CE=5時，作EM⊥AD于M，如圖3所示， 則AM=EB=1，EM=AB=4， ∵∠D=90°，CD=AB=4，

∴PD===3， ∴PM=AD﹣AM﹣PD=6﹣1﹣3=2，

∴PE===2， ∴△EPC的周長=CE+CP+PE=10+2（cm）；

②當PE=CE=5時，同①得：△EPC的周長=10+2（cm）；

③當PC=PE時，作PN⊥BC于N，如圖4所示， 則PN=CD=4，EN=CN=CE=2.5，

∴PE=PC===， ∴△EPC的周長=CE+PC+PE=5+（cm）；

綜上所述：△EPC的周長為（10+2）cm或（5+）cm．