Question

某村計劃修建一條水渠，其橫斷面是等腰梯形，底角B為120°，如圖所示，已知等腰梯形ABCD兩腰與底邊BC的和為4m，則梯形的最大面積為

 

．

Answer 1

分析：過B作AD的垂線BE于點E，設AB=xm，利用x表示出高BE和AD、BC的長，利用x表示梯形的面積，然后利用函數的性質即可求解．

解答：解：過B作AD的垂線BE于點E．
則∠ABE=120°-90°=30°．
設AB=xm，則BC=4-2xm，
在直角△ABE中，BE=AB•cos∠ABE=

3

2

xm，AE=

1

2

AB=

1

2

xm，
則AD=x+BC=x+（4-2x）=4-xm，
則梯形ABCD的面積y=

1

2

（AD+BC）•BE=

1

2

（4-x+4-2x）•

3

2

x，
即y=-

3 3

4

x²+2x，
則當x=

2

3 3 2

=

4

3 3

=

4 3

9

時，最大值是：-

3 3

4

×（

4 3

9

）2+2×

4 3

9

=

4 3

9

（m²）．
故答案是：

4 3

9

．

點評：本題考查等腰梯形的計算和二次函數等知識，考查求函數的解析式和求函數的最值問題，求最值的問題常用的方法是轉化為函數的問題求解．