Question

【題目】如圖，在中，為上一點，以為圓心，長為半徑作圓，與相切于點，過點作交的延長線于點,且.

（1）求證：為的切線；

（2）若， ,求的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】

（1）作OE⊥AB于點E，證明△OBC≌△OBE，根據全等三角形的對應邊相等可得OE=OC， OE是⊙O的半徑 ，OE⊥AB ，即可判定AB為⊙O的切線；

（2）根據題意先求出AO、BO的長，再證明△AOD∽△BOC，根據相似三角形對應邊成比例即可求出AD的長.

（1）作OE⊥AB于點E，

∵切BC于點C，

∴OC⊥BC，∠ACB=90°，

∵ AD⊥BD，∴∠D=90°，

∴∠ABD＋∠BAD =90°，∠CBD＋∠BOC=90°，

∵∠BOC=∠AOD，∠AOD=∠BAD，

∴∠BOC=∠BAD，

∴∠ABD=∠CBD

在△OBC和△OBE中，

∴△OBC≌△OBE，

∴OE=OC，∴OE是⊙O的半徑 ，

∵OE⊥AB ，∴AB為⊙O的切線；

（2） ∵tan∠ABC=，BC=6，

∴AC=8，∴AB= ，

∵BE=BC=6，∴AE=4，

∵∠AOE=∠ABC，∴tan∠AOE= ，∴EO=3，

∴AO=5，OC=3，∴BO=，

在△AOD和△BOC中，

∴△AOD∽△BOC，∴ ，

即 ，∴AD= .