Question

【題目】給出如下定義：對于⊙O 的弦 MN 和⊙O 外一點 P（M，O，N 三點不共線，且點 P，O 在直線 MN 的異側），當∠MPN+∠MON=180°時，則稱點 P 是線段 MN 關于點 O 的關聯點．圖 1 是點 P 為線段 MN 關于點 O 的關聯點的示意圖．

在平面直角坐標系 xOy 中，⊙O 的半徑為 1．

（1）如圖 2，已知 M（，），N（ ，﹣），在 A（1，0），B（1，1），C（，0）三點中，是線段 MN 關于點 O 的關聯點的是哪個點；

（2）如圖 3，M（0，1），N（，﹣），點 D 是線段 MN 關于點 O 的關聯點．

①求∠MDN 的大��；

②在第一象限內有一點 E（m，m），點 E 是線段 MN 關于點 O 的關聯點，判斷△MNE 的形狀，并直接寫出點 E 的坐標；

③點 F 在直線 y=﹣x+2 上，當∠MFN≥∠MDN 時，求點 F 的橫坐標 x 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點 C 滿足條件；（2）①60°；②△MNE 是等邊三角形；③滿足條件的點 F 的橫坐標 x 的取值范圍≤xF≤．

【解析】

（1）由題意線段 MN 關于點O的關聯點的是以線段 MN 的中點為圓心，為半徑的圓上，所以點 C 滿足條件；（2）①如圖 3﹣1 中，作 NH⊥x 軸于 H．易求∠MON 的度數，再根據“關聯點”的定義即可求得∠MDN 的大��；②如圖 3﹣2 中，結論：△MNE 是等邊三角形．作 EK⊥x 軸于 K，求得∠MOE=60°；由∠MON+∠MEN=180°，推出 M、O、N、E 四點共圓，可得∠MNE=∠MOE=60°，由此即可解決問題；③如圖 3﹣3 中，由②可知，△MNE 是等邊三角形，作△MNE 的外接圓⊙O′，首先證明點 E 在直線 y=﹣x+2 上，設直線交⊙O′于 E、F，可得 F（， ），觀察圖形即可解決問題.

（1）由題意線段 MN 關于點 O 的關聯點的是以線段 MN 的中點為圓心，為半徑的圓上，所以點 C 滿足條件；

（2）①如圖 3﹣1 中，作 NH⊥x 軸于 H．

∵N（，﹣），

∴tan∠NOH= ，

∴∠NOH=30°，

∠MON=90°+30°=120°，

∵點 D 是線段 MN 關于點 O 的關聯點，

∴∠MDN+∠MON=180°，

∴∠MDN=60°．

②如圖 3﹣2 中，

結論：△MNE 是等邊三角形．

理由：作 EK⊥x 軸于 K．

∵E（m，m），

∴tan∠EOK=，

∴∠EOK=30°，

∴∠MOE=60°，

∵∠MON+∠MEN=180°，

∴M、O、N、E 四點共圓，

∴∠MNE=∠MOE=60°，

∵∠MEN=60°，

∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°，

∴△MNE 是等邊三角形．

③如圖 3﹣3 中，由②可知，△MNE 是等邊三角形，作△MNE 的外接圓⊙O′，

易知 E（，1），

∴點 E 在直線 y=﹣x+2 上，設直線交⊙O′于 E、F，可得 F（，），

觀察圖象可知滿足條件的點F的橫坐標 x 的取值范圍≤xF≤．