Question

【題目】如圖，在中，，，點、同時從點出發，以相同的速度分別沿折線、射線運動，連接.當點到達點時，點、同時停止運動.設，與重疊部分的面積為.

（1）求長；

（2）求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；

（3）請直接寫出為等腰三角形時的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）過點A作AM⊥BC于點M，由等腰三角形的性質可得∠B=∠C=30°，BM=CM=BC，由直角三角形的性質可得BM=2，即可求BC的值；
（2）分點P在AB上，點P在AC上，點Q在BC的延長線上時，三種情況討論，由三角形的面積公式可求S關于x的函數關系式；
（3）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質可求解．

解：（1）過點作于點，

∵，，

∴，.

在中，，，

∴，

∴，.

∴.

（2）因為點，同時出發且速度相同，所以兩點運動的路程相同

情況①：當時，此時點在線段上，如圖1

過點作于點，

在中，

∵，，

∴.

∴與重疊部分的面積.

情況②：當時，此時點在線段上，如圖2

過點作于點，

此時，，

∵，，

∴，

∴.

在中，

∵，，

∴.

∴與重疊部分的面積.

情況③：當時，此時點在線段上，在線段延長線上，如圖3

過點作于點，

由情況②同理可得：，

∴與重疊部分的面積為的面積，

則.

綜上所述：與重疊部分的面積.

（3）或

①當點在上，點在上時，不可能是等腰三角形.

②當點在上，點在上時，，，

③當點在上，點在的延長線時，，.