Question

如圖1，在平面直角坐標系中，A（，0），B（0，），且、滿足.
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點M為直線在第一象限上一點，且△ABM是等腰直角三角形，求的值.
（3）如圖3過點A的直線交軸負半軸于點P，N點的橫坐標為-1，過N點的直線交AP于點M，給出兩個結論：①的值是不變；②的值是不變，只有一個結論是正確，請你判斷出正確的結論，并加以證明和求出其值。

Answer 1

  解：（1）由題意求得 A(2,0)  B(0,4)   
利用待定系數法求得函數解析式為：  
（2）分三種情況
當BM⊥BA 且BM=BA時       當AM⊥BA 且AM=BA時       當AM⊥BM 且AM=BM時
△ BMN≌△ABO(AAS)          △BOA≌△ANM(AAS)
得M的坐標為（4,6 ）        得M的坐標為（6, 4 ）       構建正方形
m=                           m=                       m=1

（3）結論2是正確的且定值為2  
設NM與x軸的交點為H，分別過M、H作x軸的垂線垂足為G，HD交MP于D點，

由與x軸交于H點可得H(1,0)    
由與交于M點可求M(3，K)
而A(2,0) 所以A為HG的中點
所以△AMG≌△ADH(ASA)            
又因為N點的橫坐標為－1，且在上
所以可得N 的縱坐標為－K，同理P的縱坐標為－2K
所以ND平行于x軸且N、D的很坐標分別為－1、1
所以N與D關于y軸對稱
所以可證△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC
所以PN=PD=AD=AM
所以= 2            

（1）求出a、b的值得到A、B的坐標，設直線AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程組，求出即可；
（2）當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥Y軸于N，證△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐標即可；②當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥X軸于N，同法求出M的坐標；③當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥X軸于N，MH⊥Y軸于H，證△BHM≌△AMN，求出M的坐標即可．
（3）設NM與x軸的交點為H，分別過M、H作x軸的垂線垂足為G，HD交MP于D點，求出H、G的坐標，證△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案