Question

（2013•眉山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一動點(diǎn)，E為直線AD上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）請直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移

2

個(gè)單位后得到的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形，需要分類討論：
①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)．過點(diǎn)A作直線AD的垂線，與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P．首先求出直線PA的解析式，然后聯(lián)立拋物線與直線PA的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)P只能與點(diǎn)B重合；
③以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)P亦只能與點(diǎn)B重合．
（3）拋物線沿射線AD方向平移

2

個(gè)單位，相當(dāng)于向左平移1個(gè)單位，并向上平移一個(gè)單位．據(jù)此，按照“左加右減”的原則，確定平移后拋物線的解析式．

解答：解：（1）根據(jù)題意得，A（1，0），D（0，1），B（-3，0），C（0，-3）．
拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（-3，0），C（0，-3），則有：

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3．

（2）存在．
△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：
①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)．
如解答圖，過點(diǎn)A作直線AD的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)F．
∵OA=OD=1，則△AOD為等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，則△OAF為等腰直角三角形，∴OF=1，F(xiàn)（0，-1）．
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（1，0），F(xiàn)（0，-1）的坐標(biāo)代入得：

k+b=0 b=-1

，
解得k=1，b=-1，
∴y=x-1．
將y=x-1代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+2x-3得，x²+2x-3=x-1，
整理得：x²+x-2=0，
解得x=-2或x=1，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=x-1=-3，
∴P（-2，-3）；
②以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)．
此時(shí)∠PAE=45°，因此點(diǎn)P只能在x軸上或過點(diǎn)A與y軸平行的直線上．
過點(diǎn)A與y軸平行的直線，只有點(diǎn)A一個(gè)交點(diǎn)，故此種情形不存在；
因此點(diǎn)P只能在x軸上，而拋物線與x軸交點(diǎn)只有點(diǎn)A、點(diǎn)B，故點(diǎn)P與點(diǎn)B重合．
∴P（-3，0）；
③以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)．此時(shí)∠EAP=45°，由②可知，此時(shí)點(diǎn)P只能與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E位于直線AD與對稱軸的交點(diǎn)上，即P（-3，0）；
綜上所述，存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-3）或（-3，0）．

（3）拋物線的解析式為：y=x²+2x-3=（x+1）²-4．
拋物線沿射線AD方向平移

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個(gè)單位，相當(dāng)于向左平移1個(gè)單位，并向上平移一個(gè)單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y=（x+1+1）²-4+1=x²+4x+1．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、拋物線與平移、等腰直角三角形等知識點(diǎn)，試題的考查重點(diǎn)是分類討論的數(shù)學(xué)思想．