Question

【題目】已知拋物線（是常數）經過點.

（1）求該拋物線的解析式和頂點坐標.

（2）若點在拋物線上，且點關于原點的對稱點為.

①當點落在該拋物線上時，求的值；

②當點落在第二象限內，取得最小值時，求的值.

Answer 1

【答案】（1），頂點的坐標為(1,-4);（2）①，;②.

【解析】

（1）把坐標代入求出解析式，再化為頂點式即可求解；

（2）①由對稱性可表示出P’的坐標，再由P和P’都在拋物線上，可得到m的方程，即可求出m的值；

②由點P’在第二象限，可求出t的取值，利用兩點間的距離公式可用t表示，再由帶你P’在拋物線上，可消去m，整理得到關于t的二次函數，利用二次函數的性質即可求出最小值時t的值，則可求出m的值.

（1）∵拋物線經過點，

∴，解得，∴拋物線的解析式為.

∵，∴頂點的坐標為.

（2）①由點在拋物線上，有.

∵關于原點的對稱點為，有.

∴，即，

∴，

解得，.

②由題意知在第二象限，∴，，即，.

則在第四象限.

∵拋物線的頂點坐標為，∴.

過點作軸，為垂足，則.

∵，，

∴，.

當點和不重合時，在中，.

當點和重合時，，，符合上式.

∴，即.

記，則，

∴當時，取得最小值.

把代入，得，

解得，，

由，可知不符合題意，∴.