Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1求該拋物線與x軸的交點坐標；
（2）若a=，c=2+b且拋物線在區間上的最小值是-3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在實數x，使得相應的y的值為1，請說明理由．

Answer 1

（1）該拋物線與x軸公共點的坐標是：（﹣1，0）和（，0）；
（2）b=3或b=；
（3）存在兩個不同實數x，使得相應y=1．

解析試題分析：（1）直接將a=b=1，c=﹣1代入求出即可；
（2）利用當x=﹣b＜﹣2時，即b＞2，此時﹣3=（﹣2）²+2×（﹣2）b+b+2；當x=﹣b＞2時，即b＜﹣2，則有拋物線在x=2時取最小值為﹣3，此時﹣3=2²+2×2b+b+2；當﹣2≤﹣b≤2時，即﹣2≤b≤2，則有拋物線在x=﹣b時，取最小值為﹣3，分別求出符合題意的答案即可；
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，則△=4b²﹣12a（c﹣1），求出其符號得出答案即可．
試題解析：（1）當a=b=1，c=﹣1時，拋物線為：y=3x²+2x﹣1，
∵方程3x²+2x﹣1=0的兩個根為：x₁=﹣1，x₂=．
∴該拋物線與x軸公共點的坐標是：（﹣1，0）和（，0）；
（2）a=，c﹣b=2，則拋物線可化為：y=x²+2bx+b+2，
其對稱軸為：x=﹣b，
當x=﹣b＜﹣2時，即b＞2，則有拋物線在x=﹣2時取最小值為﹣3，
此時﹣3=（﹣2）²+2×（﹣2）b+b+2，
解得：b=3，符合題意，
當x=﹣b＞2時，即b＜﹣2，則有拋物線在x=2時取最小值為﹣3，此時﹣3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=﹣，不合題意，舍去．
當﹣2≤﹣b≤2時，即﹣2≤b≤2，則有拋物線在x=﹣b時，取最小值為﹣3，
此時﹣3=（﹣b）²+2×（﹣b）b+b+2，
化簡得：b²﹣b﹣5=0，
解得：b₁=（不合題意，舍去），b₂=．
綜上：b=3或b=；
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²﹣12a（c﹣1），
=4b²﹣12a（﹣a﹣b），
=4b²+12ab+12a²，
=4（b²+3ab+3a²），
=4[（b+a）²+a²]，
∵a≠0，△＞0，
所以方程3ax²+2bx+c=1有兩個不相等實數根，
即存在兩個不同實數x，使得相應y=1．
考點：二次函數綜合題．