Question

如圖，直線y=x與反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點A，AB⊥y軸，垂足為B，點C在射線BA上（端點除外），點E在x軸上，且∠OCE=90°，CH⊥x軸，垂足為H，并與反比例函數y=

k

x

圖象交于點G．
（1）若點B的坐標為（0，4），求k的值；
（2）在（1）的條件下，求證：HG=HE．

Answer 1

分析：（1）利用點B的坐標為（0，4）易得點A的坐標為（4，4），然后把點A的坐標代入y=

k

x

即可求出k的值；
（2）設H點坐標為（a，0），易得C點坐標為（a，4），G點坐標為（a，

16

a

），則GH=

16

a

，利用等角的余角相等得到∠OCH=∠CEH，根據相似三角形的判定得Rt△OCH∽Rt△CEH，則OH：CH=CH：EH，然后把OH=a，CH=4代入得到EH=

16

a

，于是有HG=HE．

解答：（1）解：∵點B的坐標為（0，4），AB⊥y軸，
∴點A的縱坐標為4，
∵點A在直線y=x上，
∴點A的坐標為（4，4），
把A（4，4）代入y=

k

x

得k=4×4=16；
（2）證明：反比例函數的解析式為y=

16

x

，
設H點坐標為（a，0），
∵CH⊥x軸，
∴C點坐標為（a，4），G點坐標為（a，

16

a

），
∴GH=

16

a

，
∵∠CHO=∠OCE=90°，
∴∠OHC-∠HOC=∠OCE-∠EOC，即∠OCH=∠CEH，
∴Rt△OCH∽Rt△CEH，
∴OH：CH=CH：EH，
∴EH=

CH2

OH

，
∵OH=a，CH=4，
∴EH=

16

a

，
∴HG=HE．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：反比例函數圖象上的點的坐標滿足其函數解析式；常用待定系數法求函數的解析式；正確運用三角形相似的判定與性質進行幾何計算．