Question

【題目】有這樣一個問題：探究同一坐標系中系數互為倒數的正、反比例函數與的圖象性質小明根據學習函數的經驗，對這兩個函數當時的圖象性質進行了探究設函數與圖象的交點為A、下面是小明的探究過程：

（1）如圖所示，若已知A的坐標為，則B點的坐標為______．

（2）若A的坐標為，P點為第一象限內雙曲線上不同于點B的任意一點．

①設直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點求證：．

證明過程如下：設，直線PA的解析式為．

則

解得

所以，直線PA的解析式為______．

請把上面的解答過程補充完整，并完成剩余的證明．

②當P點坐標為時，判斷的形狀，并用k表示出的面積．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①，，；②直角三角形，或.

【解析】

（1）根據正、反比例函數圖象的對稱性結合點A的坐標即可得出點B的坐標；

（2）①設P（m，），根據點P、A的坐標利用待定系數法可求出直線PA的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點M的坐標，過點P作PH⊥x軸于H，由點P的坐標可得出點H的坐標，進而即可求出MH的長度，同理可得出HN的長度，再根據等腰三角形的三線合一即可證出PM=PN；

②根據①結合PH、MH、NH的長度，可得出△PAB為直角三角形，分k＞1和0＜k＜1兩種情況，利用分割圖形求面積法即可求出△PAB的面積．

解：（1）由正、反比例函數圖象的對稱性可知，點A、B關于原點O對稱，

點的坐標為，

點的坐標為．

故答案為：．

（2）①證明過程如下，

設，直線PA的解析式為．

則，

解得：，

直線PA的解析式為．

當時，，

點的坐標為．

過點P作軸于H，如圖1所示，

點坐標為，

點的坐標為，

．

同理可得：，

．

，

．

故答案為：，，；

②由（2）①可知，在中，，

為等腰三角形，且．

當P點坐標為時，，

，

，，

，即，

為直角三角形．

當時，如圖1，

，

，

，

；

當時，

，

，

，

．