Question

求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．如圖所示．設直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線，且AM²+BN²=AB²+MN²．
求證：4（AM²+BN²）=5AB²．

Answer 1

分析：分析由于AM，BN，AB均可看作某個直角三角形的斜邊，可從勾股定理入手．我們分別把M，N當成所在邊的中點，那么可直接利用AM²+BN²=AB²+MN²．

解答：證明：連接MN，線段MN稱為△ABC的中位線，
∴MN∥AB且MN=

1

2

AB
AM²+BN²=AB²+MN²，
所以4（AM²+BN²）=4AB²+4MN²．
由于M，N是BC，AC的中點，
所以MN=

1

2

AB．
所以4MN²=AB²．
∴4（AM²+BN²）=5AB²．

點評：本題考查了中位線的平行于底邊，且長度為底邊的一半的性質，考查了勾股定理的運用，解本題的關鍵是假設M、N是中點．