Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦BC＝，點P是⊙O上的一動點（不與點A、B重合，且與點C分別位于直徑AB的異側），連接PA，PC，過點C作PC的垂線交PB的延長線于點D．

（1）求tan∠BPC的值；

（2）隨著點P的運動，的值是否會發生變化？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的值；

（3）運動過程中，AP+2BP的最大值是多少？請你直接寫出它來．

Answer 1

【答案】（1）tan∠BPC＝；（2）的值不會發生變化，；（3）AP+2BP的最大值為10．

【解析】

（1）連接AC，可得△ACB是直角三角形，即可得出AB，BC和AC的值，由圓的性質可得∠BPC＝∠BAC，即可求出tan∠BPC；

（2）由已知可推出△CBD∽△CAP，可得＝，因為是固定值，所以也是固定值；

（3）由（2）知BD＝AP，可將AP+2BP化成，所以可推出AP+2BP＝PC≤AB＝10，即得出AP+2BP的最大值．

（1）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝2，

∴AC＝＝4，

∴tan∠BPC＝tan∠BAC＝＝；

（2）的值不會發生變化，理由如下：

∵∠PCD＝∠ACB＝90°，

∴∠1+∠PCB＝∠2+∠PCB，

∴∠1＝∠2，

∵∠3是圓內接四邊形APBC的一個外角，

∴∠3＝∠PAC，

∴△CBD∽△CAP，

∴＝，

在Rt△PCD中，＝tan∠BPC＝，

∴＝＝；

（3）由（2）知BD＝AP，

∴AP+2BP

＝2（AP+BP）

＝2（BD+BP）

＝2PD

＝，

由tan∠BPC＝，得：cos∠BPC＝，

∴AP+2BP＝PC≤AB＝10，

∴AP+2BP的最大值為10．