Question

【題目】如圖，在ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點O．
（1）求證：△ABN≌△CDM；
（2）連接MN，求證四邊形MNCD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，

∵M、N分別是AD，BC的中點，

∴BN=DM，

∵在△ABN和△CDM中，

，

∴△ABN≌△CDM（SAS）

（2）證明：

∵M是AD的中點，∠AND=90°，

∴NM=AM=MD，

∵BN=NC=AM=DM，

∴NC=MN=DM，

∵NC DM，

∴四邊形CDMN是平行四邊形，

又∵MN=DM，

∴四邊形CDMN是菱形

【解析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分別是AD，BC的中點，即可利用SAS證得△ABN≌△CDM；（2）利用直角三角形形的性質結合菱形的判定方法證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對菱形的判定方法的理解，了解任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．