Question

【題目】已知：直線m∥n，點A，B分別是直線m，n上任意兩點，在直線n上取一點C，使BC=AB，連接AC，在直線AC上任取一點E，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點F．

（1）如圖1，當點E在線段AC上，且∠AFE=30°時，求∠ABE的度數；

（2）若點E是線段AC上任意一點，求證：EF=BE；

（3）如圖2，當點E在線段AC的延長線上時，若∠ABC=90°，請判斷線段EF與BE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）EF=BE，見解析

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠FAB=∠ABC，根據三角形內角和定理解答即可；

（2）以點E為圓心，以EA為半徑畫弧交直線m于點M，連接EM，證明△AEB≌△MEF，根據全等三角形的性質證明；

（3）在直線m上截取AN=AB，連接NE，證明△NAE≌△ABE，根據全等三角形的性質得到EN=EB，∠ANE=∠ABE，證明EN=EF，等量代換即可．

（1）∵m∥n，

∴∠FAB=∠ABC，

∵∠BEF=∠ABC，

∴∠FAB=∠BEF，

∵∠AHF=∠EHB，∠AFE=30°，

∴∠ABE=30°；

（2）如圖1，以點E為圓心，以EA為半徑畫弧交直線m于點M，連接EM，

∴EM=EA，

∴∠EMA=∠EAM，

∵BC=AB，

∴∠CAB=∠ACB，

∵m∥n，

∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC，

∴∠MAC=∠CAB，

∴∠CAB=∠EMA，

在△AEB和△MEF中，

，

∴△AEB≌△MEF（AAS）

∴EF=EB；

（3）EF=BE．

理由如下：如圖2，在直線m上截取AN=AB，連接NE，

∵∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ACB=45°，

∵m∥n，

∴∠NAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°，

在△NAE和△ABE中，

，

∴△NAE≌△ABE（SAS），

∴EN=EB，∠ANE=∠ABE，

∵∠BEF=∠ABC=90°，

∴∠FAB+∠BEF=180°，

∴∠ABE+∠EFA=180°，

∴∠ANE+∠EFA=180°

∵∠ANE+∠ENF=180°，

∴∠ENF=∠EFA，

∴EN=EF，

∴EF=BE．