Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是邊BC上的中線，BE⊥AC于點E，交AD于點H過點C作CF∥AB交BE的延長線于點F．

（1）求證：△ABH∽△BFC；

（2）求證：BH2＝HEHF；

（3）若AB＝2，∠BAC＝45°，求BH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據兩角對應相等兩三角形相似證明即可；

（2）連接CH，首先證明BH＝HC，再證明△CHE∽△FHC可得結論；

（3）延長CH交AB于M，由題意CM⊥AB．利用全等三角形的性質證明AM＝AE＝2，求出BM即可解決問題．

（1）證明：∵AB＝AC，AD是邊BC上的中線，

∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，

∵BE⊥AC，

∴∠BDH＝∠AEH＝90°，

∵∠AHE＝∠BHD，

∴∠DBH＝∠DAC＝∠BAD，

∵CF∥AB，

∴∠ABH＝∠F，

∴△ABH∽△BFC；

（2）連接CH．∵AD⊥BC，BD＝DC，

∴BH＝HC，

∴∠HBC＝∠HCB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABH＝∠ACH，

∵CF∥AB，

∴∠ABH＝∠F，

∴∠HCE＝∠F，

∵∠CHE＝∠CHF，

∴△CHE∽△FHC，

∴，

∴HC2＝HEHF，

∵BH＝HC，

∴BH2＝HEHF；

（3）延長CH交AB于M，由題意CM⊥AB，

∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，

∴∠ABE＝45°，

∴AE＝ABcos45°＝2×＝，

∵∠HAM＝∠HAE，∠HMA＝∠HEA，∠AMH＝∠AEH＝90°，

∴△AHM≌△AHE（AAS），

∴AM＝AE＝，

∴BM＝AB﹣AM＝2﹣，

在Rt△BHM中，BH＝＝2﹣2．