Question

已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)xOy中，邊長(zhǎng)為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止．
（1）求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（2）在等邊△OAB的邊上（點(diǎn)A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），現(xiàn)有∠MCN=60°，其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過(guò)程中，△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)Q從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C需要

2 3

3

秒，點(diǎn)P從點(diǎn)A→O→B需要

4

3

秒，所以分兩種情況討論：①0＜t＜

2

3

；②

2

3

≤t＜

2 3

3

．針對(duì)每一種情況，根據(jù)P點(diǎn)所在的位置，由三角形的面積公式得出△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并且得出自變量t的取值范圍；
（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形．每一種情形，都有可能O為頂點(diǎn)，C為頂點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，分別討論，得出結(jié)果；
（3）如果延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周長(zhǎng)=BA+BO=4．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D．（如圖）
∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，OC=

OD

cos30°

=

1

cos30°

=

2 3

3

（1分）

（i）當(dāng)0＜t＜

2

3

時(shí)，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥OA于點(diǎn)E．（如圖）
在Rt△OEQ中，
∵∠AOC=30°，
∴QE=

1

2

OQ=

t

2

，
∴S_△OPQ=

1

2

OP•EQ=

1

2

（2-3t）•

t

2

=-

3

4

t2+

1

2

t，
即S=-

3

4

t2+

1

2

t；（3分）

（ii）當(dāng)

2

3

＜t≤

2 3

3

時(shí)（如圖）
OQ=t，OP=3t-2．
∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，
∴∠POQ=90°．
∴S_△OPQ=

1

2

OQ•OP=

1

2

t•（3t-2）=

3

2

t2-t，
即S=

3

2

t2-t；
故當(dāng)0＜t＜

2

3

時(shí)，S=-

3

4

t2+

1

2

t，當(dāng)

2

3

＜t≤

2 3

3

時(shí)，S=

3

2

t2-t（5分）

（2）D（

3

3

，1）或（

2 3

3

，0）或（

2

3

，0）或（

4

3

，

2 3

3

）（9分）

（3）△BMN的周長(zhǎng)不發(fā)生變化．理由如下：
延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使AF=OM，連接CF．（如圖）
又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，
∴△MOC≌△FAC，
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分）
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA
=∠OCA-∠MCN
=60°，
∴∠FCN=∠MCN．
在△MCN和△FCN中，

MC=CF ∠FCN=∠MCN CN=CN

，
∴△MCN≌△FCN，
∴MN=NF．（11分）
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．
∴△BMN的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定．難度很大．注意分類(lèi)討論時(shí)，做到不重復(fù)，不遺漏．