Question

如圖，已知直線y=x+8交x軸于A點，交y軸于B點，過A、0兩點的拋物線y=ax²+bx（a＜O）的頂點C在直線AB上，以C為圓心，CA的長為半徑作⊙C．
（1）求拋物線的對稱軸、頂點坐標及解析式；
（2）將⊙C沿x軸翻折后，得到⊙C′，求證：直線AC是⊙C′的切線；
（3）若M點是⊙C的優弧

ABO

（不與0、A重合）上的一個動點，P是拋物線上的點，且∠POA=∠AM0，求滿足條件的P點的坐標．

Answer 1

（1）如圖，由直線y=x+8圖象上點的坐標特征可知，A（-8，0），B（0，8）
∵拋物線過A、O兩點
∴拋物線的對稱點為x=-4
又∵拋物線的對稱點在直線AB上，
∴當x=-4時，y=4
∴拋物線的頂點C（-4，4）

4=16a-4b 0=64a-8b

，
解得

a=- 1 4 b=-2

∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²-2x；

（2）連接CC′、C′A
∵C、C′關于x軸對稱，設CC′交x軸于D，則CD⊥x軸，且CD=4，AD=4
△ACD為等腰直角三角形
∴△AC′D也為等腰直角三角形
∴∠CAC′=90°
∵AC過⊙C′的半徑C′A的外端點A
∴AC是⊙C′的切線；

（3）∵M點是⊙O的優弧

ABO

上的一點，
∴∠AMO=∠ABO=45°，
∴∠POA=∠AMO=45°
當P點在x軸上方的拋物線上時，
設P（x，y），則y=-x，
又∵y=-

1

4

x²-2x
∴

y=-x y=- 1 4 x2-2x

解得

x1=0 y1=0

x2=-4 y2=4

此時P點坐標為（-4，4）當P點在x軸下方的拋物線時，設P（x，y）
則y=x，又∵y=-

1

4

x2-2x
∴

y=x y=- 1 4 x2-2x

解得

x1=0 y1=0

x2=-12 y2=-12

此時P點的坐標為（-12，-12）
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-4，4）或（-12，-12）