Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點，連接DE，將△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△CDF，作點F關于CD的對稱點，記為點G，連接DG．

（1）依題意在圖1中補全圖形；
（2）連接BD，EG，判斷BD與EG的位置關系并在圖2中加以證明；
（3）當點E為線段AB的中點時，直接寫出∠EDG的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

依題意補全圖形如圖1：

（2）解：結論：BD⊥EG．

證明：如圖2，BD，EG交于M，

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠DAE=∠DCB=90°，

由旋轉可得△ADE≌△CDF，DE=DF，AE=CF

∴∠DCF=∠DAE=∠DCB=90°，

∴點B，C，F在一條直線上．

∵點G與點F關于CD的對稱

∴△DCG≌△DCF，DG=DF，CG=CF

∴DE=DG，AE=CG，

∴BE=BG

∴BD⊥EG于M．

（3）解：如圖3，過G作GM⊥DE于M，

由（2）知，DE=DG，

設BE=x，

∴AE=CF=CG=BG=x，

∴AD=2x，

在Rt△ADE中，DE= = x，

∴DG= x，

在Rt△BEG中，EG= x，

設DM=a，

∴EM=DE﹣DM= x﹣a，

在Rt△EMG中，MG2=EG2﹣EM2，

∴MG2=2x2﹣（ x﹣a）2，

在Rt△DMG中，MG2=5x2﹣a2，

∴2x2﹣（ x﹣a）2=5x2﹣a2，

∴a= ，

∴MG= x

在Rt△DMG中，tan∠EDG= = ．

即：∠EDG的正切值為 ．

【解析】（1）根據旋轉中心旋轉方向旋轉角度畫出圖形即可；（2）先利用旋轉判斷出B、C、F在一條直線上，進而利用軸對稱得出△DCG≌△DCF即可；（3）過G作GM⊥DE于M，構造出直角三角形，再利用勾股定理即可表示出GM、DM即可得出結論。
【考點精析】利用勾股定理的概念和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．