Question

（2001•哈爾濱）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，，梯形的高，且．
（1）求∠B的度數；
（2）設點M是梯形對角線AC上一點，DM的延長線與BC相交于點F，當時，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可先表示出梯形ABCD的面積以及三角形ABC的面積，然后根據它們的比例關系可得出AD，BC的和與AD，BC的積的比例關系，然后將化簡，可得出關于AD，BC的和與BC的比例關系，讓兩個式子相除即可得出AD的值，也就能求出BC，AB的長了．有了AB的長，那么可在直角三角形ABE中，根據AB，AE的值用正弦函數求出∠B的度數．
（2）本題的關鍵是求出CF，DF的長，題中給出了三角形ADM的面積，那么我們可通過作高線來求解．過M作兩底的垂線交AD于H，交BC于N．那么根據三角形ADM的面積我們可求出MH的長，也就能求出MN的長，根據三角形ADM和FMC相似，我們可得出AD與FC的比應該等于兩三角形的對應的高的比．這樣就能求出CF的長，然后通過CF的長，判定出四邊形ADFB是菱形，然后即可得出DF的長，這樣就能求出所求的方程了．
解答：解：（1）∵S_梯形ABCD=（AD+BC）•AE，S_△ABC=BC•AE
∴==…①
∵
∴=…②
①÷②得：AD=5
∴AB=AD=5，BC=8
直角三角形ABE中，sinB=AB：AE=
∴∠B=60°；

（2）過M作HN垂直于梯形ABCD的兩底，且交AD于H，交BC于N．
S_△ADM=AD•MH=×5•MH=
∴MH=
∴MN=AE-MH=
∵AD∥BC
∴△ADM∽△FCM
∴AD：FC=MH：MN，即5：FC=5：3
∴CF=3
∴BF=BC-CF=8-3=5=AD
∵AD∥BC
∴四邊形ABFD是平行四邊形
∵AD=AB=BF
∴四邊形ABFD是菱形
∴DF=5
那么以CF，DF為根的一元二次方程就應該是x²-8x+15=0．
點評：本題主要考查了梯形的性質，相似三角形的判定和性質以及一元二次方程根與系數的關系等知識點，（2）中，通過作高和相似三角形來得出CF，DF的長是解題的關鍵．