Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數量關系．

小明發現，利用軸對稱做一個變化，在BC上截取CA′=CA，連接DA′，得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）．

請回答：

（1）在圖2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；

（2）BC和AC、AD之間的數量關系是 ．

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）ADC；A′DC；（2）BC=AC+AD；（3）21．

【解析】

試題分析：（1）由SAS容易證明△ADC≌△A′DC；

（2）由△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，再求出DA′=BA′，得出BA′=AD，即可得出結論；

解決問題：在AB上截取AE=AD，連接CE，先證明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=10=BC，過點C作CF⊥AB于點F，設EF=BF=x；在Rt△CFB和Rt△CFA中，根據勾股定理求出x，即可得出結果．

試題解析：（1）△ADC≌△A′DC；理由如下：

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠A′CD，

在△ADC和△A′DC中，

，

∴△ADC≌△A′DC（SAS）；

（2）BC=AC+AD；理由如下：

由（1）得：△ADC≌△A′DC，

∴DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B=90°-∠A=30°，

∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，∠∠BDA′=30°=∠B，

∴DA′=BA′，

∴BA′=AD，

∴BC=CA′+BA′=AC+AD；

解決問題

如圖，在AB上截取AE=AD，連接CE，如圖3所示：

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠EAC．

在△AEC和△ADC中，

，

∴△ADC≌△AEC（SAS），

∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC，

過點C作CF⊥AB于點F，

∴EF=BF，

設EF=BF=x．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF2=CB2-BF2=102-x2，

在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2．

∴102-x2=172-（9+x）2，

解得：x=6，

∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，

∴AB的長為21．