Question

【題目】將一副三角尺如圖①擺放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）．點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過點C．
（1）求∠ADE的度數；
（2）如圖②，在圖①的基礎上將△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜60°），此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，點D為AB的中點，

∴CD=AD=BD= AB，

∴∠ACD=∠A=30°，

∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，

∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°

（2）解：∵∠EDF=90°，

∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，

∴∠PDM=∠CDN，

∵∠B=60°，BD=CD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BCD=60°，

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，

∴∠CPD=∠BCD，

在△DPM和△DCN中，

，

∴△DPM∽△DCN，

∴ ．

【解析】（1）首先證明∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據∠ADE=∠ADC﹣∠EDF計算即可得解；（2）只要證明△DPM和△DCN相似，再根據相似三角形對應邊成比例即可證明．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．